Skip to content

Ciągłość funkcji

Zbadaj ciągłość funkcji

f(x)=\begin{cases} \frac{1}{ln|x|} , \hbox{ dla } x \in(0;\frac{1}{2}] \\ 0,\hbox{ dla } x=0\end{cases}

sprawdzimy czy wartość funkcji w punkcie i granicy tej funkcji są równe wówczas funkcja bedzie ciągła

\lim \limits_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)

\lim \limits_{n \to 0^{+}}\frac{1}{ln|x|}=\frac{1}{-\infty}=0

f(0)=0

zatem funkcja jest ciągła w x_{0}=0

f(x)=\begin{cases} \ tg (x) , \hbox{ dla } x \in(0;\frac{\pi}{2}]\cup(\frac{\pi}{2},\pi] \\ 0,\hbox{ dla } x=\frac{\pi}{2}\end{cases}

sprawdzimy czy garnice na otoczeniu punktu x_{0}=\frac{\pi}{2} są sobie równe

\lim \limits_{x \to {\frac{\pi}{2}}^{+}} tg(x)=-\infty

\lim \limits_{x \to {\frac{\pi}{2}}^{-}} tg(x)=\infty

funkcja nie posuada granicy w puncie x_{0}=\frac{\pi}{2} więc nie jest ciągła w x=\frac{\pi}{2}

f(x)=\begin{cases} \frac{x^{3}-x^{2}}{|x-1|} , \hbox{ dla } x \neq 1 \\ 1,\hbox{ dla } x= 1\end{cases}

sprawdzimy czy garnice na otoczeniu punktu x_{0}=1 są sobie równe

\lim \limits_{x\to 1^{-}}-\frac{x^{3}-x^{2}}{x-1}=[\frac{0}{0}]=\lim \limits_{x\to 1^{-}}-\frac{x^{2}(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^{-}}-x^{2}=-1

\lim \limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^{3}-x^{2}}{x-1}=[\frac{0}{0}]=\lim \limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^{+}}x^{2}=1

granica funkcji w punkcie x_{0}=1 nie istnieje zatem funkcja nie jest ciągła

f(x)=\begin{cases} x\sin(\frac{1}{x}) , \hbox{ dla } x \neq 1 \\ 0,\hbox{ dla } x= 1\end{cases}

zbadajmy zatem granice funkcji w punkcie x_{0}=1 kotzystając z twierdzenia o trzech funkcjach

\lim\limits_{x\to 1}x\sin(\frac{1}{x})=0

-x\leqslant xsin(\frac{1}{x}) \leqslant x

f(0)=0

zatem funkcja jest ciągła w punkcie x_{0}=0

f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\sin(x)} , \hbox{ dla } x \neq \pi \\ 1,\hbox{ dla } x= \pi\end{cases}

zbadamy granice obustronne funkcji w punkcie x_{0}=\pi

\lim\limits_{x\to \pi^{-}}\frac{x}{sin(x)}=\frac{\pi}{0^{-}}=-\infty

\lim\limits_{x\to \pi^{+}}\frac{x}{sin(x)}=\frac{\pi}{0^{+}}=\infty

funkcja nie jest ciągła w punkcie x_{0}=\pi ponieważ nie ma granicy w tym punkcie

Leave a Reply

Note: XHTML is allowed. Your email address will never be published.

Subscribe to this comment feed via RSS