Skip to content

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Zbadaj przedział zmienności podanych funkcji :

a) f(x)=(x-1)^{2}(x+2)

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji D_{f}: x \in R

2) szuakamy asymptot pionowych – ponieważ  D_{f}: x \in R brak asymptot pionowych

3) szukamy asyptot ukośnych o równaniu y=Ax+B

A=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x-1)^{2}(x+2)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-2x+1)(x+2)}{x}=
=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x^{3}-2x^{2}+x+2x^{2}-4x+2)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x^{3}-3x+2)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x(x^{2}-3+\frac{2}{x})}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-3+\frac{2}{x})}{1}=\frac{\infty}{1}=\infty

zatem funkcja nie posiada asymptot ukosnych ani poziomych

4) monotoniczność

f(x)=(x-1)^{2}(x+2)

f^{'}(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^{2}=(2x-2)(x+2)+(x^{2}-2x+1)=2x^{2}+4x-2x-4+x^{2}-2x+1=3x^{2}-3

f^{'}(x)\geqslant 0

3x^{2}-3=0

x^{2}=1

x=-1 oraz x=1

funkcja rosnie na przedziale x \in (-\infty;-1)(1;\infty)

funkcja maleje na przedziale x \in (1;-1)

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada maksimum lokalne w punkcie x=-1 i wynosi f(-1)=(-1-1)^{2}(-1+2)=4

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie x=1 i wynosi f(1)=(1-1)^{2}(1+2)=0

6) funkcja wypukła /wflęsła  oraz punkt przegięcia

f^{''}(x)\geqslant 6x

6x=0

x=0

funkcja jest wpukła na przedziale x \in (0;\infty)

funkcja jest wklęsła na przedziale x \in (-\infty;0)

f(0)=(1-0)^{2}(0+2)=2

(0;2) jest punktem przegięcia funkcji

7) sprawdzimy granice na krancach dziedziny

\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty}{x}(x-1)^{2}(x+2)=\infty

\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty}{x}(x-1)^{2}(x+2)=-\infty

8 ) sprawdizmy gdzie nasza funkcja przecina oś OX

(x-1)^{2}(x+2)=0

(x^{2}-2x+1)(x+2)=0

x=-2 oraz x=1

9) Sprawdzimy gdzie nasza funkcja przecina oś Oy

f(0)=(0-1)^{2}(x+2)=2

b) f(x)=x\cdot \ln|x|

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji x\in (0;\infty)

2) szukamy asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie x=0

\lim\limits_{x \to 0^{+}}x\cdot \ln|x|=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=[\frac{-\infty}{\infty}]=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{-x^{2}}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}-x=0

zatem funkcja nie posiada asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie  x=0

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu y=Ax+B

A=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x \cdot \ln|x|}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\ln|x|=\infty

zatem nie istnieje asymptota ukośna ani  pozioma

4) monotoniczność

f(x)=x\cdot \ln|x|

f^{'}(x)=\ln|x|+1

f^{'}(x)\geqslant 0

\ln|x|+1=0

\ln|x|=-1

x=\frac{1}{e}

funkcja rosnie na przedziale x \in (\frac{1}{e};\infty)

funkcja maleje na przedziale x \in (0;\frac{1}{e})

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie x=\frac{1}{e} i wynosi f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

f^{''}(x)=\frac{1}{x}

f^{''}(x) \geqslant 0

x \geqslant 0

zatem funkcja jest wypukła w całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy granice na krańcach przedziałów

\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty}x \cdot \ln|x|=\infty

8 )  sprawdzimy gdzie funkcja przetnie os OX

x \cdot \ln|x|=0

x=0 nie należy do dziedzinyfunkcji oraz x=1

c) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji x \in (0; 1)(1;\infty)

2) szukamy asyptot pionowych w punktach nieciągłości dziedziny x=0 prawostronnej oraz x=1 obustronnej

\lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{0}{-1}=0

zatem nie istnieje asymptota pionowa prawostronna w punkcie x=0

\lim\limits_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{0^{+}}=\infty

\lim\limits_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty

zatem istnieje asymptota pionowa obustronna w punkcie x=1

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu y=Ax+B

A=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x-1}\cdot \frac{1}{x}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x^{2}-x}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{2}\cdot x\sqrt{x}}{x^{2}(1-\frac{1}{x})}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\cdot x\sqrt{x}}{(1-\frac{1}{x})}=\infty

funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}

f^{'}(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-1)-\sqrt{x}}{(x-1)^{2}}=\frac{-x-1}{2\sqrt{x}(x-1)^{2}}

f^{'}(x)\geqslant 0

\frac{-x-1}{2\sqrt{x}(x-1)^{2}}=0

(-x-1)(x-1)^{2}=0

x=-1  oraz  x=1

funkcja maleje na przedziale x \in (0;1)\cup(1;\infty)

5) ekstremum funkcji

funkcja nie posiada ekstremum

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkt przegięcia

f^{''}(x)=\frac{-2\sqrt{x}(x-1)^{2}-[(x-1)^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}+4\sqrt{x}(x-1)](-x-1)}{4x(x-1)^{4}}

f^{''}(x)\geqslant 0

\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{3x^{2}+2x+1}{4x(x-1)^{3}}=0

x=0 oraz x=1

3x^{2}+2x+1=0

\Delta=4-12

funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie oraz nie posiada pounktów przegięcia

7)  sprawdzimy granice funkcji na krańcach przedziałów dziedziny

\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}=\frac{1}{\infty}=0

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

f(x)=0

\frac{\sqrt{x}}{x-1}=0

\sqrt{x}=0

x=0

9) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OY

f(0)=\frac{0}{-1}=0

d) f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji D_{f} x \in (-\infty,1)(1,\infty)

2) szukamy asymptot pionowych obustronnych w punkcie x=1

\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{x^{3}}{x-1}=\frac{1}{0^{+}}=\infty

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\frac{x^{3}}{x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty

zatem funkcja posiada asymptote pionową obustronną w punkcie x=1

3) szukamy asymptot ukośnych

A=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x-1}\cdot \frac{1}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x^{x}-x}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{2}\cdot x}{x^{2}(1-\frac{1}{x})}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\cdot x}{(1-\frac{1}{x})}=\infty

funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

f^{'}(x)=\frac{3x^{2}(x-1)-x^{3}}{(x-1)^{2}}=\frac{3x^{3}-3x^{2}-x^{3}}{(x-1)^{2}}=\frac{2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}

\frac{2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}\geqslant 0

x^{2}(2x-3)(x-1)=0

x=0 oraz x=1 oraz x=\frac{3}{2} funkcja rosnie na przedziale x \in (\frac{3}{2};\infty)

funkcja maleje na przedziale x \in(-\infty ;\frac{3}{2})

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie x=\frac{3}{2} i wynosi f(\frac{3}{2})=\frac{27}{4}

6) funkcja wypukła , wklęsła oraz punkt przegięcia

f^{'}(x)=\frac{(6x^{2}-6x)(x-1)^{2}-2(x-1)(2x^{3}-3x^{2})}{(x-1)^{4}}=\frac{(6x^{2}-6x)(x-1)-2(2x^{3}-3x^{2})}{(x-1)^{3}}=\frac{6x^{3}-6x^{2}-6x^{2}+6x-4x^{3}+6x^{2}}{(x-1)^{3}}=\frac{2x^{3}-6x^{2}+6x}{(x-1)^{3}}=\frac{2x(x^{2}-3x+3)}{(x-1)^{3}}

f^{'}(x) \geqslant 0

\frac{2x(x^{2}-3x+3)}{(x-1)^{3}} \geqslant 0

2x(x^{2}-3x+3)(x-1)^{3}=0

x^{2}-3x+3=0

\Delta =9-12  brak rozwiązań

x=0 oraz x=1 funkcja jest wklęsła dla x \in (0;1)

funkcja jest wypukła dla x \in (-\infty;0)(1;\infty)

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oX

f(x)=0

\frac{x^{3}}{x-1}=0

x^{3}=0

8 )   sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oY

f(0)=0

9) sparwdzimy granice na kranczach dziedziny

\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{x-1}=-\infty

\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x-1}=\infty

e) f(x)=x^{2}e^{-x}

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji D_{f}:x\in R

2) szukamy asymptot pionowych-brak asymptot pionowych ponieważ D_{f}:x\in R

3) szukamy asymptot ukośnych

A=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^{2}e^{-x}}{x}=\lim\limits_{n\to\infty}xe^{-x}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{e^{x}}=0

B=\lim\limits_{n\to\infty}f(x)-Ax=\lim\limits_{n\to\infty}x^{2}e^{-x}-0=\lim\limits_{n\to\infty}x^{2}e^{-x}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{e^{x}}=0

4) monotoniczność

f^{'}(x)=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=e^{-x}(-x^{2}+2x)

e^{-x}(-x^{2}+2x)\geqslant 0

-x^{2}+2x \geqslant 0

-x(x-2)=0

funkcja rośnie na przedziale x\in(0;2)

funkcja maleje na przedziale x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne właściwe w pkt x=0 i wynosi f(0)=0

funkcja posiada maksimum lokalne właściwe w pkt x=2 i wynosi f(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^{2}}

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

f^{''}(x)=-e^{-x}(-x^{2}+2x)+e^{-x}(-2x+2)=e^{-x}(-x^{2}+2)

e^{-x}(-x^{2}+2)\geqslant 0

-x^{2}+2\geqslant 0

-x^{2}+2=0

funkcja jest wypukła na przedziale (-\sqrt{2};\sqrt{2})

funkcja jest wklęsła na przedziale (-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};\infty)

punkt przegięcia funkcji (\sqrt{2};\frac{2}{e^{\sqrt{2}}}) oraz (-\sqrt{2};2e^{\sqrt{2}})

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

x^{2}e^{-x}=0

x=0

8 )   sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OY

f(0)=0

9) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

\lim\limits_{x\to\infty}x^{2}e^{-x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{e^{x}}=0

\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}e^{-x}=\infty

f) f(x)=\frac{x}{ln|x|}

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji D_{f}:x\in (0;\infty)

2) szukamy asymptot pionowych w punkcie x=0 prawostronnej

\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{x}{\ln|x|}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}[\frac{\ln|x|}{x}]^{-1}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}[\frac{\frac{1}{x}}{1}]^{-1}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}[\frac{1}{x}]^{-1}=[\frac{1}{0^{+}}]^{-1}=[\infty]^{-1}=\frac{1}{\infty}=0

brak asymptoty pionowych

3) szukamy asymptot ukośnych y=Ax+B

A=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\ln|x|}\cdot\frac{1}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\ln|x|}=\frac{1}{\infty}=0

B=\lim\limits_{x\to\infty}f(x)-Ax=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\ln|x|}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}x=\infty

brak asymptot ukośnych i poziomych

4) monotoniczność

f^{'}(x)=\frac{\ln|x|-1}{\ln^{2}|x|}

\frac{\ln|x|-1}{\ln^{2}|x|}\geqslant 0

(\ln^{2}|x|)(\ln|x|-1)\geqslant

\ln^{2}|x|(\ln|x|+1)=0

\ln^{2}|x|=0

x=1

\ln|x|-1=0

\ln|x|=1

x=e

funkcja jest rosnąca na przedziale (e;\infty)

funkcja jest malejąca na przedziale (-\infty;0)\cup(0;e)

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne właściwe w punkcie x=e i wynosi f(e)=e

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

f^{''}(x)=\frac{\frac{1}{x}\ln^{2}|x|-2\ln|x|\frac{1}{x}(\ln|x|-1)}{\ln^{4}|x|}=\frac{\frac{1}{x}\ln^{2}|x|-2\frac{1}{x}\ln^{2}|x|+2\ln|x|\frac{1}{x}}{\ln^{4}|x|}=\frac{-\frac{1}{x}\ln^{2}|x|+2\frac{1}{x}\ln|x|}{\ln^{4}|x|}=\frac{\frac{1}{x}\ln|x|(-\ln|x|+2)}{\ln^{4}|x|}=\frac{-ln|x|+2}{x\ln^{3}|x|}

\frac{-\ln|x|+2}{x\ln^{3}|x|}\geqslant 0

x\ln^{3}|x|(-\ln|x|+2)\geqslant 0

x\ln^{3}|x|(-\ln|x|+2)= 0

x=0

\ln|x|=0

x=1

-\ln|x|+2=0

\ln|x|=2

x=e^{2}

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

\frac{x}{\ln|x|}=0

x=0

8 ) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\ln|x|}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}x=\infty

\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\ln|x|}=\lim\limits_{x\to 0}[\frac{\ln|x|}{x}]^{-1}=\lim\limits_{x\to 0}[\frac{\frac{1}{x}}{1}]^{-1}=\lim\limits_{x\to 0}[\frac{1}{x}]^{-1}=[\frac{1}{0}]^{-1}=[\infty]^{-1}=\frac{1}{\infty}=0

g) f(x)=x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji D_{f} x \in (-\infty,0)(0,\infty)

2) szukamy asymptot pionowych obustronyych w punkcie x=0

\lim\limits_{x \to 0^{+}}x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^{2}}}=[\frac{\infty}{\infty}]=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{-\frac{1}{x^{2}}\cdot e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{2}{x}}=[\frac{\infty}{\infty}]=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{-\frac{1}{x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}}}{-\frac{2}{x^{2}}}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{2}=\infty

\lim\limits_{x \to 0^{-}}x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^{2}}}=[\frac{\infty}{\infty}]=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{-\frac{1}{x^{2}}\cdot e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{2}{x}}=[\frac{\infty}{\infty}]=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{-\frac{1}{x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}}}{-\frac{2}{x^{2}}}=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{2}=0

funkcja posiada asymptotę pionową prwawostronną w punkcie x=0

3) szukamy asymptot ukośnych

A=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}x\cdot e^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-\frac{1}{x^{2}}\cdot e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim\limits_{x \to \infty}e^{\frac{1}{x}}=e^{0}=1

B=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-Ax=\lim\limits_{x \to \infty}x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}-x=\lim\limits_{x \to \infty}x^{2}(e^{\frac{1}{x}}-\frac{1}{x})=\infty

zatem funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

f(x)=x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}

f^{'}(x)=2x\cdot e^{\frac{1}{x}}-\frac{1}{x^{2}}\cdot e^{\frac{1}{x}}\cdot x^{2}=2x\cdot e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}}(2x-1)

f^{'}(x) \geqslant 0

e^{\frac{1}{x}}(2x-1)\geqslant 0

e^{\frac{1}{x}}(2x-1)=0

x=\frac{1}{2} funkcja rosnie na przedziale x \in (\frac{1}{2};\infty)

funkcja maleje na przedziale x \in(-\infty ;\frac{1}{2})

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie x=\frac{1}{2} i wynosi f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\cdot e^{2}

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

f^{''}(x)=-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}(2x-1)+2e^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}}(-\frac{1}{x^{2}}(2x-1)+2)=e^{\frac{1}{x}}(\frac{-2x+1}{x^{2}}+\frac{2x^{2}}{x^{2}})=e^{\frac{1}{x}}(\frac{2x^{2}-2x+1}{x^{2}})

f^{''}(x) \geqslant 0

e^{\frac{1}{x}}(\frac{2x^{2}-2x+1}{x^{2}}) \geqslant 0

e^{\frac{1}{x}}(2x^{2}-2x+1)(x^{2}) =0

2x^{2}-2x+1=0

\Delta =4-8 brak pierwiastkówzatem funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}=0

x=0

8 ) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

\lim\limits_{x \to \infty}x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}=\infty \cdot 1=\infty

\lim\limits_{x \to -\infty}x^{2}\cdot e^{\frac{1}{x}}=\infty\cdot\infty=\infty

Leave a Reply

Note: XHTML is allowed. Your email address will never be published.

Subscribe to this comment feed via RSS